【院試対策】線形代数①（同次連立１次方程式）

こんばんは。

久しぶりの投稿となってしまいました。驚くことに８月はこれが初めて。

本当に申し訳ありません🙇

実は７月・８月は大学院の入試の勉強をしていたため、久しぶりに受験生をしていました！

ということで、今回からしばらくはせっかく時間をかけて勉強したのに忘れてしまったらもったいないなと思ったので、自分のメモという意味も含めて大学院入試関連の記事を書いていこうと思います💪

「急に“大学院入試”と言われったって、全部忘れたよ～」という同志の役に少しでも立てばうれしいです！！
＊ちなみに、僕の専攻が工学部の機械系なので大学院の機械系を受ける方がドストライクの対象となります！

それでは～

シュワッチ

---

 

まず、線形代数の第１回は“同次連立１次方程式”についてです。
僕にとっての線形代数の１番の利点は連立方程式を簡単に解くことが出来ることです。大学に入って「線形代数っていったい何を求めてるのかわからん！」という方は下の例題を解いてみると線形代数がこれまでの数学と密接に繋がっていることを感じることが出来ると思います。

“同時連立１次方程式”は僕の大学では頻出の問題となっています。

＜例題１＞
以下の連立１次方程式を解け。
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
12x + 5y + 2z – 9w = 0 & \\
11x + 4y + 3z – 10w = 0 & \\
3x + y + z -5w = 0
\end{cases}
\end{eqnarray}

＜解法＞
STEP１：まずは行列の形にします。

\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
12 & 5 & 2 & -9 \\
11 & 4 & 3 & -10\\
3 & 1 & 1 & -5
\end{array}
\right)
\]

STEP２：行同士を足し引きして、簡単な形にします。
①１行目ー２行目
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
11 & 4 & 3 & -10\\
3 & 1 & 1 & -5
\end{array}
\right)
\]

②２行目ー１１×１行目
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -7 & 14 & -21\\
3 & 1 & 1 & -5
\end{array}
\right)
\]

③３行目ー３×１行目
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -7 & 14 & -21\\
0 & -2 & 4 & -8
\end{array}
\right)
\]

④３行目÷(ー7)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & -2 & 4 & -8
\end{array}
\right)
\]

⑤３行目÷（ー2）
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 1 & -2 & 4
\end{array}
\right)
\]

⑥１行目ー２行目
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 1 & -2 & 4
\end{array}
\right)
\]

⑦３行目ー２行目
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]

⑧１行目＋３行目×２
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]

⑨２行目ー３行目×３
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]

STEP３：状況整理
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
w
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\]

STEP４：方程式の形に直す
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + z = 0 \\
y – 2z = 0 \\
w = 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

STEP５：終了♪
\begin{eqnarray}
z = k_1（任意の定数）とすると、
\end{eqnarray}
\[
P = k_1\left(
\begin{array}{ccc}
-1 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}
\right)
\]

＜例題２＞
以下の連立１次方程式を解け。
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
12x + 5y + 2z – 9w = 0 & \\
11x + 4y + 3z – 10w = 0 & \\
5x + y + z – w = 0
\end{cases}
\end{eqnarray}

＜解法＞
STEP１：まずは行列の形にします。

\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
12 & 5 & 2 & -9 \\
11 & 4 & 3 & -10\\
5 & 1 & 1 & -1
\end{array}
\right)
\]

STEP２：行同士を足し引きして、簡単な形にします。（今回は詳しい解説は省略します🙇）

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
11 & 4 & 3 & -10\\
5 & 1 & 1 & -1
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -7 & 14 & -21\\
5 & 1 & 1 & -1
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -7 & 14 & -21\\
0 & -4 & 6 & -6
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & -4 & 6 & -6
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 2 & -3 & 3
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 2 & -3 & 3
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 1 & -3
\end{array}
\right)
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & -3
\end{array}
\right)
\]

STEP３：状況整理
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & -3
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x \\
y \\
z \\
w
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\]

STEP４：方程式の形に直す
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + z – 2w = 0 \\
y – 3w = 0 \\
z – 3w = 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

STEP５：終了♪
\begin{eqnarray}
z = k_1,w = k_2（任意の定数）とすると、
\end{eqnarray}
\[
P = k_1\left(
\begin{array}{ccc}
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right)
+ k_2\left(
\begin{array}{ccc}
2 \\
3 \\
0 \\
1
\end{array}
\right)
\]

---

 

いかがでしたでしょうか？

この数式を書くのが中々時間がかかるので２問しか紹介できませんでしたが、上の例題で示した解法が同時連立１次方程式の基本的な解の求め方となります。

それでは、次回は今回のようにすべての方程式が“=０”の形というわけではない、“非同次連立１次方程式”の解の求め方について紹介いたします。

お楽しみに♪

▲▲▲ｱﾘｶﾞ島▲▲▲