【院試対策】線形代数②（非同次連立１次方程式）

こんにちは～

前回の予告通り、今回は“非同次連立１次方程式”の解の求め方について記事にしていきたいと思います。

それでは～

シュワッチ！

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第２回は“非同次連立１次方程式”についてです。
前回、紹介した“同時連立１次方程式”は“＝０”という形をしていましたが、今回の非同次連立１次方程式はそうではありません。
でも、逆に言うとそこしか違いがないので同次連立１次方程式の解き方が分かっていれば、すんなり内容が入ってくると思います。
それでは、例題を使って理解していきましょう！
＊第１回：【院試対策】線形代数①（同次連立１次方程式）

“非同時連立１次方程式”も僕の大学では頻出の問題となっています。

＜例題＞
以下の連立１次方程式を解け。
$$\begin{cases} x – y – 6z + w + 2v = 4 & \\ 2x – y – z – 2w + 3v = 5 & \\ 3x – y + 4z – 5w + 6v = 6 \end{cases}$$

＜解法＞
STEP１：非同次連立１次方程式ではまず、拡大係数行列を立てます。
$$A = \left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & -6 & 1 & 2 & 4\\ 2 & -1 & -1 & -2 & 3 & 5\\ 3 & -1 & 4 & -5 & 6 & 6 \end{array} \right)$$

STEP２：行同士を足し引きして、簡単な形にします。
①１行目×（－２）＋２行目
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & -6 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 11 & -4 & -1 & -3\\ 3 & -1 & 4 & -5 & 6 & 6 \end{array} \right)$$

②１行目×（－３）＋３行目
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & -6 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 11 & -4 & -1 & -3\\ 0 & 2 & 22 & -8 & 0 & -6 \end{array} \right)$$

③３行目÷２
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & -6 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 11 & -4 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 11 & -4 & 0 & -3 \end{array} \right)$$

④３行目ー２行目
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & -6 & 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 11 & -4 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

⑤１行目＋２行目
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 5 & -3 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 11 & -4 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

⑥１行目ー３行目
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 5 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 11 & -4 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

⑦２行目＋３行目
$$\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 5 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 11 & -4 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

STEP３：状況整理
$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 5 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 11 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ w \\ v \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -3 \\ 0 \end{array} \right)$$

STEP４：方程式の形に直す
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + 5z – 3w = 1 \\ y + 11z – 4w = -3 \\ v = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

STEP５：終了♪
$$\begin{eqnarray} z = k_1,w = k_2（任意の定数）とすると、 \end{eqnarray}$$
$$P = k_1\left( \begin{array}{ccc} -5 \\ -11 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + k_2\left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$$

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いかがでしたでしょうか？

この数式を書くのが中々時間がかかるので１問しか紹介できませんでしたが、上の例題で示した解法が非同時連立１次方程式の基本的な解の求め方となります。

次回は“行列の和積”について紹介いたします。

お楽しみに♪

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